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Resumo
Foi estudada a relação de um modelo probabilístico Passeio Aleatório com dois tópicos: a equação discreta
que modela a difusão do calor, e o comportamento de redes elétricas. Outro ponto importante do trabalho
inerente aos modelos vistos, foi o estudo de funções harmônicas, uma das áreas mais ricas da Matemática.
I. Introdução
Passeios aleatórios e funções harmônicas
estabelecem uma das relações mais importantes
da probabilidade atual, possibilitanto,
por exemplo, o entendimento preciso
do Movimento Browniano. O estudo iniciou-se
com a equação discreta do calor, um modelo
clássico sobre o lattice Zd que estabelece que
em cada instante uma partícula assume a temperatura
"média"de seus vizinhos no instante
anterior. Esse tópico é base para o estudo do
chamado "Problema de Dirichlet", isto é, funções
perfis de temperatura invariantes para o
modelo discreto do calor, ou ainda, cujo laplaciano
discreto seja zero. Funções que satisfazem
essa propriedade são ditas harmônicas.
Para encontrar tais funções nos voltamos à algo
aparentemente desconexo: os passeios aleatórios.
Tal modelo analisa o caminho que uma
partícula percorre em um lattice Zd dado que
no instante inicial parte de um sítio e para
o instante seguinte escolhe com probabilidades
iguais uma das 2d direções coordenadas
possíveis e move-se. Uma função solução da
equação discreta do calor é também solução
do modelo do passeio aleatório. Além disso,
pode-se estudar esse modelo em redes elétricas,
analisando a transiência e recorrência do
processo.
II. Objetivos e Metodologia
O objetivo do projeto foi familiarizar o aluno
com conceitos de cadeias de Markov a tempo
discreto com o estudo do que foi exposto na seção
anterior em tempo discreto. Esse trabalho
desenvolveu-se via bibliografia recomendada e
encontros entre o aluno e o orientador. Além
disso, foram feitas simulações com o software
Wolfram Mathematica.
III. Resultados
As funções solução do modelo discreto para difusão
do calor foram: No caso unidimensional,
a função linear da forma f (x) = a + (b ô€€€ a)x é
a única solução; vimos isso através da demonstração
de que o máximo e o mínimo de uma
função harmônica ocorrem na fronteira. Em
d 2, definindo
pr(x, y) = å
z:zx
1
2d
pr(z, y)
onde pr(x, y) é a probabilidade do passeio terminar
em um ponto y na fronteira, dado que começou
em um ponto x interior e quando ocorre
um salto para um sítio z vizinho a x essa probabilidade
se altera, considerando a : ¶A ! R
e fa : ¯A ! R, definindo:
fa(x) = å
y2¶A
a(y)pr(x, y)
, então
fa(x) = Qfa(x)
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