Introdução

Um loop é uma estrutura algébrica formada por um par ordenado (L,*), onde L é um conjunto não vazio, e * é uma operação binária em L tal que em L existe um elemento identidade e para todo par (a,b) de elementos de L existem únicos x e y pertencentes a L tais que x*a = b e a*y = b. Nestas condições, um grupo é um loop associativo, ou seja, apresenta também a identidade (x*y)*z = x*(y*z). Desta forma os loops podem ser vistos como uma generalização do conceito de grupo.

Um loop de Moufang é um loop em que é satisfeita a identidade (x*y)*(z*x) = (x*(y*z))*x. Tais loops estão muito próximos a um grupo, como pode ser visto no teorema de Moufang que diz que "Se a,b e c são elementos de um loop de Moufang que se associam em alguma ordem, então o subloop gerado por a,b e c é um grupo". Loops de Chein são loops de Moufang construídos a partir de um grupo não abeliano, pela extensão cíclica de um grupo de ordem 2, de maneira semelhante à construção do grupo diedral por um grupo ciclico. Loops de Chein não são associativos e constituem uma classe relevante na categoria de loops.

Objetivo

Fornecer exemplos de loops de Chein;

Descrever propriedades destes loops

Metodologia

Os métodos são os usuais em matemática pura

Resultado e Conclusão

O menor loop de Moufang que não é associativo é um loop de Chein construído a partir do menor grupo não abeliano (grupo diedral de ordem 6).