Introdução

O nascimento da geometria hiperbólica é um dos capítulos mais interessantes da história da matemática. Resumidamente, podemos dizer que a força motriz para o nascimento da geometria hiperbólica, foi a estranheza provocada pelo enunciado do 5º Postulado de Euclides:

 "Se uma linha reta atingindo outras duas linhas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado da linha menores que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se estendidas indefinidamente, se encontram daquele lado da linha no qual os ângulos são menores do que dois ângulos retos".

 Quando comparado aos outros postulados dos elementos, o enunciado do 5º postulado não possuía a clareza e simplicidade dos outros axiomas apresentados por Euclides. Conjuntamente com esse fato, temos que Euclides evitou ao máximo fazer uso deste postulado na demonstração das proposições. Esses fatos levaram aos matemáticos a conjecturarem a independência do mesmo, ou seja, a acreditarem que o mesmo poderia ser demonstrado a partir dos os outros postulados de Euclides.

Apenas no seculo XIX é que começou-se a suspeitar da independência do Postulado das Paralelas. Essa suspeita levou ao desenvolvimento de uma nova geometria: a geometria hiperbólica. No entanto, as dúvidas referentes à consistência desta nova geometria só foram dirimidas no final do século, quando matemáticos como Beltrami, Henri Poincaré e Felix Klein criaram modelos euclidianos para esta geometria.

 Desde seu surgimento, a geometria hiperbólica é uma área de pesquisa rica, marcada pela confluência de técnicas de diversas áreas geometria, análise complexa, análise harmônica e grupos de Lie. Além disso os insights da geometria hiperbólica inspiraram e inspiram diversas áreas da matemática como a teoria das Geometrias Riemannianas, em geral, a teoria das Variáveis complexas e funções conformes e a teoria dos grupos.

Objetivos

O objetivo desta iniciação Científica foi ser uma introdução ao estudo da geometria hiperbólica, através do estudo das transformações de Moebius do estudo de modelos para essa geometria.

Conclusão

Nesta iniciação foram estudados a Geometria não-Euclidiana primeiramente em seus aspectos sintéticos e posteriormente através de seus modelos, foi mostrada a consistência dessa geometria e a relação dos grupos de Moebius com a geometria hiperbólica.