1 Introducao

No projeto estudamos o artigo Consecutive Integers with Equally Many Principal Divisors, o qual analisa inteiros

consecutivos com um e dois divisores principais. O artigo demonstra que existe um limite para a quantidade de

inteiros consecutivos com um e dois divisores principais e também faz conjecturas sobre limites melhores.

2 Objetivos

 Estudar o comportamento de inteiros com um divisor principal;

 Estudar o comportamento de inteiros com dois divisores principais;

3) Definimos uma potência de primo como qualquer inteiro da forma p^a onde p é um primo e a é um inteiro positivo.

Do Teorema Fundamental da Aritmética temos que todo inteiro positivo N é produto de um único conjunto de potências de primos independentes, ao qual chamamos de divisores principais de N.

Para cada inteiro n positivo, seja Pn o conjunto de todos os inteiros positivos com exatamente n divisores principais,

então P0 = {1} e P1 = {2; 3; 4; 5; 7; 9; 11; 13; 16; 17; 19; : : : }, P2 = {6; 10; 12; 14; 15; 18; 20; 21; 22; 24; 26; : : : }, etc.

Denotamos tambem que Pn tem rank n. Seja run uma sequencia de inteiros consecutivos, denotamos a[r] como

a run de r inteiros consecutivos começando com a, onde a e r sao inteiros positivos, entao

a[r] = {a + i : 0 ≤ i < r}:

Chamamos de r o tamanho da run em Pn. Em particular, a run a[r] é nao trivial se r ≥2, e a[r]  contido em Pn é uma

run maximal em Pn se é nao trivial e Pn  nao contem a - 1 e a + r.

Entre outros resultados apresentamos a demonstração dos Teoremas:

Teorema 1. Nao existe run de 10 inteiros consecutivos em P2

Teorema 2 (Equacao de Pell de Stomer). Sejam D um inteiro positivo nao quadrado, P o conjunto de primos

divisores de D, e c 2 f1;ô€€€1g. Se a equa_c~ao de Pell x2 - Dy2 = c tem solucoes inteiras positivas e (x0; y0) é a

solucao fundamental, entao y0 é a única solucao para y que é um possível membro de S(P).

Teorema 8. Qualquer run de inteiros consecutivos em P2 contem no maximo um multiplo de 5.

Referencias

1. EGGLETON, R. B.; MACDOUGALL, J. A. Consecutive Integers with Equally Many Principal Divisors. Mathematics Magazine, v. 81, n. 4, p. 235-248, out. 2008.